Blognya Taufik Sulaeman P

Soal

Perusahaan “Maju Terus” merencanakan unutuk menginvestasikan uang paling banyak $1.200.000. Uang ini akan ditanamkan pada 2 cabang usaha yaitu P dan Q. Setiap unit P memerlukan uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10% ($5). Sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100 namun memberikan rate of return per unit pertahunnya sebesar 4% ($4). Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan target rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 pertahunnya. Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahaan ini tidak mau menanggung risiko yang terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pimpinan, khusus untuk cabang P ditargetkan paling sedikit jumlah investasi adalah $3.000. Bagaimana penyelesaian persoalan tersebut apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi risiko sekecil mungkin? Berapa unit masing-masing usaha yang dapat diinvestasikan?

Jawab

Pertama :

Tentukan fungsi standarnya yaitu

Fungsi Tujuan

z =  8x +   3y
 

Fungsi Pembatas

     5x +   4y ≥ 60.000
    50x + 100y ≤ 1.200.000
             x ≥ 3.000

- Dengan Metode Grafis

*---------------------*

|    x   |    y   |   z = 3x + 8y |

*---------------------*
|  0 | 15 |    45     |
| 12 |  0 |    96     |
|  0 | 12 |    36     |
| 24 |  0 |   192     |
|  4 | 10 |    62     |
*---------------------*

Dari tabel tersebut diperoleh grafik seperti berikut

Kesimpulan dari grafik diatas bahwa

+Nilai z minimum adalah $62.000

+Nilai p yang memenuhi tujuan adalah $4.000

+ Nilai q yang memenuhi tujuan adalah $10.000

- Dengan Metode Simplex

variable keputusan :

P = x
Q = y

fungsi tujuan :

z = 8x + 3y

fungsi pembatas :

     5x +  4y ≥ 60
     5x + 10y ≤ 120
             x ≥ 3

Ubah ke bentuk standard

-z + 8x + 8y = 0
     5x +  4y + S1       = 60
     5x + 10y +    S2    = 120
       x      +       S3 = 3

Iterasi ke - 0

BV  z  x   y  S1  S2  S3 Solusi
z   1  8   3  0   0   0     0
S1  0  5  10  1   0   0   120
S2  0  5   4  0   1   0    60
S3  0  1   0  0   0   1     3
Iterasi ke - 1

BV  z  x   y  S1  S2  S3   Solusi
z   1  0   3  0   0   -8     -34
S1  0  0  10  1   0   -5    10,5
S2  0  0   4  0   1   -5    11,25
S3  0  1   0  0   0    1     3

Iterasi ke - 2

BV  z    x    y   S1    S2   S3    Solusi
z   1  -0,3   0   0     0     9,5  -65,5
S1  0    0    1   0,1   0    -0,5   10,5
S2  0    0    0  -0,4   1    -3      3
S3  0    1    0   0     0     1      3
Diketahui solusi optimalnya adalah
P  = 3000

Q  = 10500

-z = 65500 maka z = 65500

Nah ini tugas ke 2 dari mata kuliah TRO yang sedang saya kontrak. Kali ini soal dari buku Operations Research Halaman 75 No 2 dan 3.

Soal No 2

Minimasi :

 Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan Pembatas :

7X1 + 3X2 ≥ 210

6X1 + 12X2 ≥ 180

4X2 ≥ 0

Pertanyaan

Carilah Harga X1,X2 !

Jawaban

Pertama :

Kita ubah dahulu fungsi-fungsi ke bentuk standar menjadi

Z - 6X1 - 7,5X2               = 0
    7X1 + 3X2  + S1           = 210
    6X1 + 12X2      +S2       = 180
          4X2           + S3  = 120

Kedua :

Tentukan solusi basis fisibelnya (BFS). Dari bentuk standar di atas maka diperoleh

BV  = { z, S1, S2, S3};
NBV = { X1, X2};
BFS-nya adalah: Z = 0; S1 = 210; S2 = 180; S3 = 120; dan X1 = X2 = 0

Ketiga :

Setelah kita selesai membuat formulasi bentuk standar kanonik maka kita mengetahui bahwa seluruh NBV pada baris 0 bernilai negatif. Pada pernyataan untuk kasus yang mencari minimasi dengan metode simpleks adalah

Jika seluruh NBV pada baris 0 mempunyai koefisien yang berharga nonpositif

(bernilai negatif atau nol), maka BFS sudah optimal

Jadi kita tidak perlu mencari lagi solusi optimalnnya karena sudah optimal.

BV  z  x1    x2   S1  S2  S3  Solusi
z   1  -6   -7,5  0   0   0      0
S1  0   7    3    1   0   0    210
S2  0   6    12   0   1   0    180
S3  0   0    4    0   0   1    120

Soal No 3

PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. Jumlah zat kimia yang tersedia adalah A= 200 kg dan B = 360 kg.

Untuk membuat 1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. Untuk membuat 1 kg sabun batang diperlukan 5 kg A dan 3 kg B. Bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk =  $ 3 sedangkan setiap 1 kg sabun batang = $ 2, berapa jumlah sabun bubuk dan sabun batang sebaiknya dibuat ?

Jawaban

kita asumsikan

x = sabun bubuk
y = sabun batang

Diperoleh fungsi dari soal diatas

z = 3x + 2y
    2x + 5y ≤ 200
    6x + 3y ≤ 360
        x,y ≥ 0

Pertama:

Ubah ke bentuk standar dahulu menjadi seperti dibawah:

z - 3x - 2y           = 0
    2x + 5y + S1      = 200
    6x + 3y      + S2 = 360

diperkecil

z - 3x - 2y           = 0
    2x + 5y + S1      = 200
    2x +  y      + S2 = 120 -> NBV
Kedua:
Tentukan rasio karena pada Fungsi Tujuan paling negatifnya -3x jadi rasio didapat dari solusi di bagi x
baris 1 : 200/2 = 100
      2 : 120/2 = 60 -> NBV dari nilai rasio yang terkecil

Ketiga:
Melakukan ERO
Pada ERO 1, X= 1  pada baris ke 2
x + 0,5y + 0,5S2 = 60
(loh kok jadi 0,5 soalnya x-nya harus 1 jadi dibagi 2 semuanya yang barus ke 2)

Pada ERO2, X=0 pada baris ke 0
z - 3x -   2y         = 0
    3x - 3/2y + 3/2S2 = 180
---------------------------
z      - 0,5y + 1,5S2 = 180

Pada ERO3, X=0 pada baris ke 1
2x + 5y + S1    = 200
2x +  y + S2    = 120
----------------------
     4y + S1-S2 = 80

Diperoleh bentuk kanonik baru
z - 0,5y + 1,5S2 = 180
      4y + S1-S2 =  80
x + 0,5y + 0,5S2 =  60

BFS -> z = 180; x = 60; S1 = 80;
NBV -> 80/4 = 20

Masuk lagi ke langkah ERO
Pada ERO1, y=1 pada baris ke 1
y + 1/4S1 - 1/4S2 = 20

Pada ERO2, y=0 pada baris ke 0
z - 0,5y + 1,5S2         = 180
    0,5y + 1/8S1 - 1/8S2 =  10
------------------------------
z + 1/8S1 + 11/8S2       = 190

Pada ERO 3, y=0 pada baris ke 2
x + 0,5y + 0,5S2         = 60 
    0,5y + 1/8S1 - 1/8S2 = 10
-----------------------------
x + 1/8S1 + 5/8S2        = 50 

Diperoleh Solusi Maksismum
z = 190;
y =  20;
x =  50;

Perusahaan Sayang Anak membuat mainan boneka dan kereta api.

Harga jual boneka = 27000,
Harga jual kereta = 21000

Biaya produksi:
kereta:
10000(material)
9000(tukang)
boneka:
14000(material)
10000(tukang)

waktu:

boneka:
2 jm poles
1 jam tukang

kereta:
1jm poles
1 jam tukang

total poles:100 jam,
total tukang:80 jam

max produkasi boneka /lusin tiap minggu 40 lusin

Pertanyaan:

A. Bagaimana model matematisnya?

B .Berapa lusin boneka dan kereta api, agar produksi maksimum dan keuntukan maksimum?

Jawaban

A. Dimisalkan: z=keuntungan maksimum, x=semua parameter untuk boneka, y=semua parameter untuk kereta api. Karena dibutuhkan hasil yang dimaksimalkan, maka:

-          Untuk harga /lusin mainan: 27x+21y

-          Untuk material dan pekerja boneka: 14x+10y

-          Untuk material dan pekerja kereta api: 10x+9y

Jadi,

z=(27x+21y)-(10x+9y)-(14x+10y)
z=3x+2y

dengan pembatas:

• Waktu pemolesan dan tukang kayu:

2x+y<=100
x+y<=80

• Batasan produksi makimum boneka:

x<=40

• Batasan produksi minimum:

x>=0
y>=0

B.

Keterangan:

-          Daerah yang diarsir adalah di dalam garis x<=40, x>=0, dan y>=0

-          Titik (20,60) diperoleh dari:

2x+y <= 100

X+y <= 80

Jadi x<=20 dan y<=60

Untuk mendapatkan hasil yang maksimum dapat ditentukan dari table dibawah ini:

X	Y	Z=3x+2y	Keterangan
0	100	200	Dari persamaan 2x+y<=100
50	0	150	Dari persamaan 2x+y<=100, tidak memumngkinkan, karena x>40
0	80	160	Dari persamaan x+y<=80
80	0	240	Dari persamaan x+y<=80, tidak memungkinkan, karena x>40
20	60	180	Dari hasil eliminasi persamaan 2x+y<=100 dan  persamaan x+y<=80
40	12,5	145	Dari persamaan x<=40
40	40	200	Dari persamaan x<=40

Dari table di atas dapat disimpulakan, untuk hasil yang maksimum diambil titik x,y (0,100) atau x,y (40,40). Untuk mengetahui keuntungan maksimum nilai x dan y dimasukkan ke persamaan z=27x+21y dengan z=24x+19y untuk biaya produksi yang dikeluarkan, sebagai berikut:

-          Untuk (0,100)à z=27(0)+21(100), z=2100

Biaya produksi: z=24(x)+19(100),z=1900

Keuntungan: 200

-          Untuk (40,40) à z=27(40)+21(40), z=1920

Biaya produksi: z=24(40)+19(40), z=1720

Keuntungan: 200

Kesimpulan:

Untuk keuntungan dan hasil yang maksimum dapat:

-          Diproduksi 0 lusin boneka dan 100 lusin kereta api dengan harga jual Rp 2.100.000,00, biaya produksi Rp 1.900.000,00, dan keuntungan Rp 200.000,00, atau

-          Diproduksi 40 lusin boneka dan 40 lusin kereta api dengan harga jual Rp 1.920.000,00, biaya produksi Rp 1.720.000,00, dan keuntungan Rp 200.000,00.